Last year my friend was on a TV programme = в прошлом году мой друг участвовал в телевизионной программе;

But our TV broke down completely = но наш телевизор капитально сломался;

We tried to rent one, but there was none available = мы пытались взять на прокат, но в наличии не оказалось;

So we took it to a jeweller`s = поэтому мы отнесли его к ювелиру;

Luckily we found a neighbour who let us watch hers = к счастью, мы нашли соседку, которая разрешила посмотреть ее (телевизор).

В данном случае речь о том, как мы пытались посмотреть телевизор. Ювелир явно выбивается из этой логики.