В сокращенных предложениях учитывается время и значение (отрицательное или положительное) глагола в главном предложении.
Например, в нашем предложении стоит глагол has, однако это не глагол have в значении иметь, иначе после него не стояла бы частица to. А значит это полумодальный глагол to have to со значением "быть вынужденным что-то делать в силу обстоятельств".
Главное положение имеет положительное значение, т.е. мы что-то утверждаем, и поэтому в сокращённом предложении используем слово so.
Как мы уже заметили, основной глагол - has to - полумодальный, и поэтому образует другие формы он (отрицательные, вопросительные) при помощи вспомогательного глагола do/does. Так как глагол в Present Simple, а соответствующее ему местоимение (he) в 3 лице единственном числе, то используем глагол does - so does he.
